La seguente attività didattica è basata sul percorso relativo ai circuiti euleriani presente nel volume Guardiamo il mondo con i grafi di M.A. Aleo, D. Ferrarello et al. (2010).

LA CITTÀ DI KÖNIGSBERG

Si legge in classe il racconto disponibile nel file eulero_viaggiatore.pdf contenuto nella sezione ALLEGATI. Eulero è un viaggiatore che gira per il mondo alla scoperta di varie città. Arriva un giorno nella città di Königsberg, dove ci sono sette ponti che Eulero vuole vedere e percorrere. Purtroppo c'è un problema: ogni volta che si percorre un ponte dall'inizio alla fine, questo scompare.

Dopo aver letto il racconto, la classe gioca al LIVELLO 1 di KONI GAME (disponibile su www.oiler.education/koni-game). Nel gioco, bisogna aiutare Eulero a percorrere tutti i sette ponti che collegano le quattro parti della città di Königsberg. Per farlo, anzitutto si fa click sul punto della mappa dove si vuole posizionare Eulero, che potrà poi essere mosso con le freccette della tastiera. Ogni volta che Eulero passa sopra un ponte, il ponte scompare, come mostrato in figura.

Su un piano metodologico, suggeriamo di non fare vedere alla classe fin dall'inizio che esistono altri livelli oltre al primo. In secondo luogo, suggeriamo di far giocare gli studenti uno alla volta proiettando lo schermo del computer alla L.I.M.: in questo modo gli studenti avranno la possibilità di osservare varie partite e di ragionare insieme, cercando argomentazioni sul perché riuscire nell'impresa sia possibile o meno. Durante l'attività, l'insegnante enfatizzerà che il fatto che non si sia ancora riusciti a trovare un percorso che attraversi tutti i ponti non dimostra che il percorso non esista.

In realtà, non è possibile percorrere tutti i sette ponti: per quanto ci si impegni, si potranno percorrere al massimo sei dei sette ponti. Dopo aver fatto vari tentativi, la classe si renderà conto che qualcosa non quadra: l'insegnante ascolterà le varie argomentazioni proposte dagli studenti, anche se in questo primo momento non si sta cercando una giustificazione esauriente del perché non sia possibile riuscire nell'impresa. La cosa importante è che in classe si raggiunga un consenso sull'impossibilità.

SCHEMATIZZARE LA MAPPA A LIVELLO MATEMATICO

Eulero, vista l'impossibilità di trovare il percorso desiderato, sceglie di partire. Vuole però annotarsi la struttura della città e la disposizione dei ponti, in modo da tenere traccia nel suo diario di quella città impossibile. Eulero ama la brevità e tralascia ogni dettaglio superfluo: si chiede dunque alla classe come fare a schematizzare la mappa di Königsberg, indicando solo gli aspetti fondamentali. L'insegnante cercherà di guidare via via la classe verso una rappresentazione schematica come quella riportata nella figura seguente, chiamata grafo.

Per farlo, si procede senza fretta lasciando alla classe il tempo di sperimentare varie rappresentazioni, dividendo all'occasione gli studenti a coppie o in piccoli gruppi. Una prima osservazione è che i colori dei ponti non sono rilevanti e che per disegnare un ponte basta un segmento. Inoltre non è rilevante nemmeno la lunghezza dei ponti. L'aspetto più complesso è convincersi che la grandezza delle terra o delle isole, così come la loro mutua posizione, non ha alcuna importanza: l'unica cosa importante è sapere quali terre sono collegate a quali altre e con quanti ponti. In particolare, per indicare una terra basta… un punto!

Nelle figure seguenti proponiamo una schematizzazione graduale, da mappa a grafo. Anzitutto, si parte dalla mappa iniziale.

I ponti vengono indicati con semplici segmenti neri.

Le zone di terra vengono indicate con pallini neri.

Si aggiusta la geometria della figura per far sì che ogni ponte parta e arrivi in punto.

Si ottiene quindi il grafo che rappresenta la mappa.

Sottolineiamo che, riferendosi ai grafi, i ponti vengono usualmente chiamati archi o spigoli e le terre (i punti) vengono chiamati vertici o nodi. Inoltre, il fatto che un arco sia curvo o meno non ha alcuna importanza.

ALTRE CITTÀ

Eulero, una volta segnata sul suo diario la struttura di Königsberg, parte alla scoperta di altre città. In ogni città del suo viaggio si affronterà sempre la stessa sfida: i ponti scompaiono dopo averli percorsi e bisogna cercare di percorrerli tutti. In particolare, in ogni nuovo livello di KONI GAME la classe deve:

1. capire se esiste un percorso che permette di passare su tutti i ponti;
2. schematizzare la città con un grafo;
3. fare alcune osservazioni specifiche che vedremo in seguito.

Tutte le attività seguenti usano il software KONI GAME che suggeriamo di usare alla L.I.M. facendo giocare uno studente alla volta. Sottolineiamo che le varie città (che corrispondono ai vari livelli) sono legate tutte a un personaggio contemporaneo di Eulero che, in un modo o nell'altro, può essere a lui ricondotto.

LIVELLO 2: MILANO

La città del LIVELLO 2 di KONI GAME è Milano, e il personaggio protagonista è Maria Gaetana Agnesi. Agnesi, nata a Milano nel 1718, è stata una matematica e intellettuale dell’Illuminismo milanese ed è stata la prima donna ad avere una cattedra presso l'università di Bologna. Nel 1748 pubblicò le Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (due volumi su analisi differenziale e integrale, con un forte taglio didattico). L’opera circolò ampiamente in Europa: per esempio, è stata pubblicata nel 1801 una traduzione inglese a Cambridge. Anche se contatti diretti con Eulero non sono documentati, essi si mossero nello stesso panorama scientifico europeo, e viene riportato che le Istituzioni analitiche “furono considerate la migliore introduzione esistente ai lavori di Eulero” (Catholic Encyclopedia).

Il LIVELLO 2 è relativamente facile e risulta evidente che Eulero riesca a percorrere tutti i ponti.

Una volta che la classe è d'accordo, gli studenti lavorano a coppie per creare una schematizzazione della mappa, come quella riportata in figura.

Quando gli studenti hanno completato la schematizzazione, usando KONI GAME, l'insegnante posiziona Eulero sull'isola in alto a sinistra e chiede se sia possibile completare il percorso partendo da lì: la risposta è affermativa e si procede dunque a eseguire il percorso. L'insegnante posiziona ora Eulero sull'isola in alto a destra e pone la stessa domanda e così via per tutte le quattro isole. Si nota dunque che non importa l'isola di partenza, Eulero riesce comunque a percorrere tutti i ponti.

LIVELLO 3: BASILEA

La città del LIVELLO 3 è Basilea, e il personaggio protagonista è Daniel Bernoulli. Daniel Bernoulli, nato nel 1700, apparteneva alla celebre famiglia dei Bernoulli di Basilea; il padre Johann Bernoullli è stato maestro di Eulero. Anche se Daniel Bernoulli era medico di formazione, è stato anche un matematico e un fisico d’eccellenza: studiò idrodinamica, probabilità, oscillazioni, e anche alcuni aspetti di economia. Celebre è il suo trattato Hydrodynamica (1738) che contiene fra l'altro quello che è oggi noto come principio di Bernoulli. È stato amico di Eulero e ha lavorato insieme a lui a San Pietroburgo; città nella quale Eulero è arrivato grazie all'intercessione di Bernoulli stesso. Nel 1733 Bernoulli rientrò a Basilea su una cattedra in medicina e in seguito in fisica. Eulero rimase invece a San Pietroburgo, prendendo la cattedra di matematica rimasta scoperta con la partenza di Bernoulli. Il loro rapporto è un modello di scambio fecondo e confronto critico nell’Illuminismo scientifico europeo.

Anche nel LIVELLO 3 è possibile percorrere tutti i ponti.

Una possibile schematizzazione della mappa è riportata in figura.

Tuttavia, a differenza del LIVELLO 2, è presente una particolarità interessante: si può riuscire a percorrere tutti i ponti esclusivamente se si parte o dall'isola in basso a sinistra o dall'isola in alto a destra. Per farlo notare alla classe, l'insegnante posizionerà progressivamente Eulero su tutte le isole chiedendo di risolvere il problema partendo da quella specifica posizione.

LIVELLO 4: PARIGI

La città del LIVELLO 4 è Parigi, e il personaggio protagonista è Jean d’Alembert. D'Alembert, nato a Parigi nel 1717, è stato matematico, fisico e filosofo, membro dell’Académie des Sciences. Il suo rapporto con Eulero è interessante, perché molte furono le occasioni di disaccordo e di scontro, come una controversia sulla corda vibrante.

Il LIVELLO 4 non è risolvibile. Una volta che la classe se ne accorge, gli studenti lavorano a coppie per creare una schematizzazione della mappa, come quella riportata in figura.

LIVELLO 5: NANCHINO

La città del LIVELLO 5 è Nanchino, e il personaggio protagonista è Wang Zhenyi. Wang Zhenyi, nata nel 1768, è stata un'astronoma e matematica cinese. Ha scritto saggi su eclissi, precessione degli equinozi, trigonometria, e teorema di Pitagora. Molti suoi testi sono pensati per non specialisti: il linguaggio è didattico, gli esempi sono concreti e in generale traspare la volontà di rendere la scienza accessibile. Possiamo identificare alcune affinità con Eulero, fra cui l'interesse comune per la meccanica celeste, la cura nell'ordine, e soprattutto la vocazione a divulgare oltre i confini accademici.

Il LIVELLO 5 è risolvibile e, dopo averlo risolto, gli studenti lavorano a coppie per creare una schematizzazione della mappa, come quella riportata in figura.

Come accadeva per il LIVELLO 3, il fatto che la configurazione sia risolvibile non implica che sia risolvibile a prescindere dal punto di partenza. La classe deve quindi identificare da quali punti è possibile partire e da quali no: in particolare, bisogna partire necessariamente da uno dei due vertici in basso e il percorso terminerà nell'altro vertice in basso, opposto a quello di partenza.

LIVELLO 6: ISTANBUL

La città del LIVELLO 6 è Istanbul, e il personaggio protagonista è Ismail Gelenbevi Efendi. Efendi, nato nel 1730, è stato un matematico e astronomo ottomano. Docente alla scuola navale di Istanbul, ha scritto manuali e commentari su aritmetica, algebra e astronomia. Ha lavorato inoltre su scienze applicate come ingegneria e navigazione.

Il LIVELLO 6 non è risolvibile. Dopo essersene accorti, gli studenti lavorano a coppie per creare una schematizzazione della mappa, come quella riportata in figura.

Mettendo a confronto i grafi del LIVELLO 3 e del LIVELLO 6, si chiede quindi agli studenti di argomentare sul perché uno sia risolvibile e l'altro no. Anche in questo caso, non pensiamo a una giustificazione esaustiva quanto piuttosto a qualche spunto che faccia riflettere la classe.

LIVELLO 7: SAN PIETROBURGO

La città del LIVELLO 7 è San Pietroburgo, e il personaggio protagonista è Caterina II di Russia. Caterina II, nata nel 1729, ha regnato dal 1762 al 1796 trasformando San Pietroburgo in una capitale culturale dell’Illuminismo. Magnate nel senso più pieno e positivo del termine, ha investito ingenti risorse per costruire una corte delle scienze e delle arti. Nel 1766 ha chiamato Eulero offrendogli condizioni eccezionali: stipendio per lui e la moglie, lavoro per i figli. Nonostante la sua quasi cecità, a San Pietroburgo Eulero è riuscito a svolgere molte ricerche. Caterina II ha riunito matematici e scienziati come Nicolas Fuss (allievo e poi genero di Eulero), Anders Johan Lexell e il naturalista ed esploratore Peter Simon Pallas. Inoltre ha coltivato una rete europea d’élite: ha acquistato e finanziato la biblioteca di Diderot, ha mantenuto una fitta corrispondenza con Voltaire, ha offerto a d’Alembert il ruolo di precettore dell’erede al trono (invito che venne declinato). Nel 1783 ha affidato a Yekaterina Dashkova la guida dell’Accademia delle Scienze e ha creato la nuova Accademia Russa per la lingua: queste opere mostrano esplicitamente come la cultura fosse un caposaldo del suo regno. Caterina II è l'unica fra i nostri personaggi a non essere un matematico, questo a sottolineare che le grandi scoperte non sono solo opera di chi le fa, ma anche di chi crea un ambiente favorevole per chi quelle scoperte le compie. Sottolineiamo, per completezza storica, che il regno di Caterina II non fu solo illuminato: ci furono alcune ombre, come il suo favorire troppo la classe nobiliare.

Il LIVELLO 7 è risolvibile. Anche in questo caso gli studenti procedono a creare una schematizzazione della mappa, come quella riportata in figura.

Come fatto per le mappe precedenti, si individuano i punti da cui è possibile partire per risolvere il grafo (in basso a sinistra e in alto a destra) e i punti dai quali non è possibile partire.

CREA IL TUO GRAFO

Dopo aver finito l'analisi di tutti i livelli, ogni studente viene invitato a creare il proprio grafo. Per farlo, non è necessario creare un'intera mappa con i ponti, ma è sufficiente disegnare la schematizzazione, indicando vertici e archi del grafo. Una volta che uno studente ha creato il suo grafo, questo viene sottoposto ai compagni, che devono capire se è risolvibile o meno. Onde evitare che alcuni studenti si lascino prendere troppo la mano creando configurazioni eccessivamente complesse, suggeriamo di limitare il numero massimo di vertici del grafo a 8.

GENERALIZZAZIONE E CIRCUITI EULERIANI

Una volta conclusa l'analisi di tutti i livelli e una volta che gli studenti hanno creato i propri grafi, vale la pena approfondire il discorso con la classe, cercando - da buoni matematici - di capire perché in alcuni circuiti si riesca a fare un cammino completo e in altri no. L'argomento è complesso e dunque l'insegnante guiderà la classe nel modo seguente.

Si consegna la scheda di lavoro grafi_scoperta.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI. Nella scheda sono presenti vari grafi e bisogna capire se sono risolvibili o meno. Alla prima pagina sono riportati i grafi dei sette livelli di KONI GAME, mentre nelle due pagine successive sono presenti grafi più complessi. Una volta completata la scheda, si compila insieme la seguente tabella (un circuito si dice euleriano se passa per tutti gli archi del grafo una e una sola volta).

Dopo aver compilato insieme la tabella relativa alla prima pagina, si chiede agli studenti di compilare autonomamente la tabella per le restanti due pagine.

A questo punto, per proseguire, bisogna dare un suggerimento. L'obiettivo è caratterizzare i grafi per cui esista un circuito euleriano, ossia trovare una proprietà che tali grafi hanno e gli altri no. Per farlo, si chiede alla classe di riprendere la scheda di lavoro e di indicare, vicino ciascun vertice, il numero di archi che hanno un estremo in quel vertice. Per capire meglio la consegna, si confronti la figura seguente dove è riportato qualche esempio.

Ricordiamo che nella scheda viene chiesto di colorare in verde i vertici da cui è possibile partire per effettuare un circuito euleriano e in rosso gli altri vertici (se un grafo non è risolvibile allora tutti i suoi vertici sono rossi). Si chiede quindi alla classe di osservare esclusivamente i grafi che hanno tutti i vertici verdi (ossia quei grafici risolvibili partendo da un qualsiasi punto): quale caratteristica peculiare hanno rispetto agli altri? La risposta che si sta cercando è che i numeri che appaiono sono tutti pari. Si passa quindi a osservare gli altri grafi risolvibili (cioè i grafi che hanno punti verdi e punti rossi). Anzitutto si nota che in questi grafi i punti verdi sono sempre e soltanto due e, poi, facendo ancora riferimento ai numeri pari e dispari, che i vertici verdi sono contrassegnati da due numeri dispari e tutti gli altri da numeri pari. Queste osservazioni valgono in generale: un grafo è euleriano se e solo se ha tutti i vertici pari oppure se ha esattamente due vertici dispari.

NOTA STORICA

Il problema dei ponti di Königsberg è un problema reale: a quel tempo veramente gli abitanti della città si chiedevano se fosse possibile percorrere tutti i ponti della loro città durante una passeggiata, senza percorrere nessun ponte due volte (condizione da noi romanzata facendo scomparire i ponti). È altresì vero che Eulero si interessò al problema e dimostrò che non era possibile trovare un cammino che soddisfacesse la richiesta nel suo testo Soluzione di un problema relativo alla geometria delle posizioni (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Eulero, 1736). Nella figura seguente è riportato un disegno estratto dal testo.

È voce corrente che ciò fu l'atto fondativo della teoria dei grafi, ma la cosa non è corretta. Infatti Eulero risolse sì il problema parlando di numeri pari e dispari, ma senza parlare mai di grafo, né disegnando figure analoghe a quelle da noi usate per schematizzare la situazione. 

Per contestualizzare meglio quanto detto, vediamo due lettere che Eulero scrisse in quel tempo, riportate in (Sachs, Stiebitz, & Wilson, 1988).  La prima lettera è del 1736 ed è indirizzata a Giovanni Marinoni: il problema viene collocato in quella branca che all'epoca veniva chiamata geometria situs, successivamente analysis situ, e che oggi potremmo far rientrare nella topologia.

Mi fu proposto un problema riguardante un’isola nella città di Königsberg, circondata da un fiume collegato da sette ponti, e mi si chiese se qualcuno potesse percorrere i singoli ponti in una passeggiata continua in modo tale che ciascun ponte fosse attraversato una sola volta. Mi fu riferito che finora nessuno aveva dimostrato la possibilità di farlo, né aveva mostrato che ciò è impossibile. Questa questione è così banale, ma mi parve degna di attenzione in quanto né la geometria, né l’algebra, né nemmeno l’arte del contare (ars combinatoria) erano sufficienti a risolverla. In vista di ciò, mi venne in mente di domandarmi se essa appartenesse alla geometria delle posizioni (geometria situs), che Leibniz aveva un tempo tanto ardentemente desiderato. E così, dopo qualche riflessione, ottenni una regola semplice, ma del tutto certa, grazie alla quale si può decidere immediatamente, per tutti gli esempi di questo genere, con qualsiasi numero di ponti e in qualunque disposizione, se un tale giro sia possibile oppure no.

Interessante è anche la lettera a Carl Ehler, sempre del 1736, dove sembra che Eulero - esprimendosi in modo scherzoso - non attribuisca al problema un carattere strettamente matematico.

Dunque, vedete, nobilissimo signore, come questo tipo di soluzione abbia ben poca attinenza con la matematica, e non comprendo perché vi aspettiate che sia un matematico a fornirla, piuttosto che chiunque altro, poiché la soluzione si fonda unicamente sulla ragione e la sua scoperta non dipende da alcun principio matematico. Per questo, non so perché persino questioni che hanno così poca attinenza con la matematica vengano risolte più rapidamente dai matematici che dagli altri. Nel frattempo, nobilissimo signore, voi avete assegnato questa questione alla geometria delle posizioni, ma ignoro che cosa comporti questa nuova disciplina e quali tipi di problemi Leibniz e Wolff si aspettassero di vedere espressi in tal modo.

Pur scherzando sul problema, Eulero ne è però abbastanza coinvolto da pubblicare lo scritto citato in precedenza. La teoria dei grafi diventerà una branca della matematica solo più di un secolo dopo.

Tuttavia, non è così sbagliato associare Eulero ai grafi. Eulero infatti, in seguito e in tutt'altro ambito, nel suo Tentativo di una nuova teoria della musica (Tentamen novae theoriae musicae, Eulero, 1739) introduce il Tonnetz, un reticolo che rappresenta relazioni armoniche fra note e accordi. In figura è riportata la rappresentazione originale di Eulero, che - con un po' di fantasia - richiama i grafi moderni.

Concludiamo questa nota storica sottolineando che ovviamente i ponti delle altre città sono inventati di sana pianta, e non hanno alcuna relazione con le città stesse.

LOVLEIS E I GRAFI

Se la classe ha già affrontato il percorso di Lovleis, si può tracciare un parallelismo interessante. Durante la prima attività del percorso, chiamata La città di Tictacto, per rappresentare una strategia nel gioco del tris la classe incontra strutture come quella riportata in figura.

Questa struttura non è altro che un tipo particolare di grafo, dove i vertici sono le posizioni e gli archi sono le mosse che si possono eseguire da quella posizione. Notiamo che una volta eseguita una mossa non si può più tornare indietro. In altre parole… il ponte scompare!

BIBLIOGRAFIA

1. M.A. Aleo, D. Ferrarello, A. Nturri, D. Acna, M.F. Mammana, D. Margarone, B. Micale, V. Pappalardo, M. Pennisi, Modulo didattico sperimentale PLS – Sottoprogetto Università di Catania, La Tecnica della Scuola, 2010, ISBN 88-88887-21-0
2. Maria Gaetana Agnesi. Catholic Encyclopedia. https://www.catholic.com/encyclopedia/maria-gaetana-agnesi

3. Sachs, H., Stiebitz, M., & Wilson, R. J. (1988). An historical note: Euler’s Königsberg letters. Journal of Graph Theory, 12(1), 133–139. https://doi.org/10.1002/jgt.3190120114